Victor's Data Pool

作者：alen3321

原PO問的是一個很棒的問題，我幫忙修改一下原命題，以凸顯本問題真正的核心：「在沒有交流道、沒有道路縮減，沒有任何瓶頸下高速公路還會不會塞車？」

答案是：會

在沒有任何瓶頸下，只要高速公路的車輛密度大約在80車/公里，也就是前後空間車間距，也就是頭對頭約略在 12.5 公尺，就到達臨界密度(critival density)。到達臨界密度以後，因為與前方車輛太近，因此如果前方車輛作出一些反應，後面車會比前面車反應還大，一輛一輛往後傳，如圖：

圖裡面是位置相對座標，是以第一輛車運動原速率的等速座標。

之前日本富士電視台播放一個環型軌道上車輛，過一陣子自然會塞車的節目，他不只是綜藝節目，他其實是有論文的，那個節目由日本的學者：Akihiro Nakayama、Minoru Fukui、Katsuya Hasebe、Macoto Kikuchi、Katsuhiro Nishinari、Yuki Sugiyama、Shin-ichi Tadaki 和 Satoshi Yukawa 共同研究地，他們在 Traffic and Granular Flow 研討會和Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics......等等有投稿刊登。總之結論就是：證明即使沒有瓶頸也有可能壅塞。

但是日常生活的高速公路處處都是瓶頸，包括交流道、車道縮減等，至於瓶頸的角色是在於他是一種引發設施(trigger)，真正的關鍵在於密度，密度夠高自然就會崩潰，(崩潰 (breakdown)就是塞車，只不過是一個很學術的名詞，但壅塞發生始於瓶頸點，則只是順勢產生的。

這張圖橫軸是時間，縱軸是空間，藍線是車輛軌跡。

可以看到有車輛軌跡部分呈現水平的（紅色箭頭），但是他前面的車流都很順，所以表示壅塞起始於他，而他前方有一個隧道，還原當時的現場，這位駕駛有壞習慣：他跟車跟很近，然後又急剎。因此壅塞時常始於這種糟糕駕駛人，而不是烏龜車，以下還會提到比較瓶頸與非瓶頸崩潰機率如下，以下只是案例說明，數據不是精準的數據：

崩 潰機率
↑
│
│
│  ...              ...        ...                ...
│                    .  .
│
│...  ..............    ........  .................  .......
└─┼──────────┼───┼─────────┼────→ 位置
    上匝道              下匝道 上匝道                上匝道

某瓶頸崩潰機率：

                            x1
prob(崩潰率先發生在某瓶頸a)=∫f(x)dx  = prob(a)
                            x0

有效瓶頸上游x0

有效瓶頸下游x1

                            A
prob(崩潰率先發生在 瓶頸) = Σ  prob(a)  = 99.9%
                            a=1


也就是說瓶頸的確是崩潰的開始處，但非瓶頸處也有可能崩潰，只是機率較小。

至於烏龜車：烏龜車對於高速公路的影響大部分是正面的。

有以下兩點

(1) 對於車流的影響是變換車道行為：由以上提到臨界密度是重要的指標，因此以密度來看：變換車道如果造成密度變高，則使車流崩潰機率升高，變換車道如果造成密度變低，則使 車流崩潰機率降低。（參見BS Kerner <introduction to Modern Traffic Flow Theory and Control: The Long Road to Three-Phase Traffic Theory>）龜車後面的車換車道，會造成龜車的隔壁車道多一輛車，龜車的車道少一輛車，所以兩者效應（密度變高、密度變低）同時發生。　

到底何者效應比較強，就必須看變換車道變換的漂不漂亮，如果變換車道的人亂切，造成後方急速剎車，那麼崩潰勢必難免，因此駕駛紀律事實上是可以降低塞車發生的機率的，在這邊駕駛紀律表示變換車道到底是否有確實看後照鏡、變換車道是否有加速到隔壁車道的速率並且不使後方車剎車......等等，因此守法安全的駕駛對於公路順暢是有幫助的。

(2) 無變換車道行為下：烏龜車對於車流的平滑是有正面作用的。由於真正造成崩潰的原因是，跟車太近、急剎，因此如果前方車輛已經停止，烏龜反而可以把它平滑掉。

把它平滑掉的重要性在於：加速和減速得不對稱，人在加速時，反應比減速遲鈍，因此只要有第一個人開始煞停後，就難恢復原本的狀態 (state)，這稱做車流的磁滯效應(hysteresis)，就是物理學磁場學到的那個部分。

在德國西部的高速公路系統，在部分路段執行可變速率控制(Variable Speed Limit Control)，也就是塞車的時候速率會調整，例如：偵測到某路段快要塞車了，通常以密度為指標，那麼他的上游速率變成 60、更上游70、更上游 80。所以，德國這種控制，其實是要讓壅塞上游的車變成烏龜，可見烏龜對於車流平滑的重要性，至於其效果如何？可見下圖：

實施速率控制前：

速率

↑* * * * *  **
│            ***
│                **
│                  *
│              *    *
│        ** **  *
│      * * * * * * *
│      * ** * * *
└─────────→流量

實施速率控制後：

速率

↑* * * * *  **
│            ***
│              ***
│                ***
│              *  ***
│        **　　　  ***
│    　　　　 * * *
│      * 　　　 * *
└─────────→流量

在同樣車流量下，可明顯將速率提高，將狀態(states)轉移到上方。

再來一個問題是：為什麼有的交流道沒什麼車上下，但卻時常壅塞？這要從巨觀來看，壅塞可能會穿破瓶頸後繼續往上游傳，但是卻會使瓶頸接住後在任一瓶頸停留。