作者: testishard (Testishard) 看板: gallantry
標題: Re: [問題] 問什麼東方的數學...這麼爛
時 間: Tue Jan 12 23:38:43 2010

    身為一個數學系的學生,看到這個討論串忍不住手癢上發表我的看法

讀 了數學系後,才發現我是如此的虛弱所以以下言論有可能會有錯誤的地方

請各位版友多多包函。
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(數 的演變)

數學主要研究的主題是"數和形"(數字和形狀)

發展到近代主要會用兩種方式來研究數字和形狀,一種是分析,一種 是代數

在"數字"的方面關注的有兩點,一個是數系,一個是運算

而數系一直為了運算的需求而拓展,可以視為把數線填滿的過 程…

從一開始的自然數(1 2 3 4 …)和加法的概念  這兩個東西應該是人類本能就會意

識到的。

自 然數在做加法運算是有封閉性,所以在做加法時,自然數不會出啥問題

但當人類意識到扣掉(減的概念也就是加法的反運算)時,就發現  幹糟了…

1-1是什麼鬼東東?

所以為了滿足運算上的需要,進而有了0的概念,使 1-1=0 2-2=0 …

那 1-2又是什麼洨?  1-2 = 1-1-1 = 0-1???  ~崩潰~

為了解決這個問題只好再次發揮數學家最強的嘴炮---我定 義

把比零少一定為負一,然後負一長這樣-1(這是為了方便起見),之後就依此類推

這樣就定出了負整數。

自 然數、零和負整數的合體就是整數了。人類發現整數對加減法有封閉性,不會

出現什麼不可思議的事

(某個集合對某個運算有封 閉性就是集合中的任兩個元素做此運算的結果還是此集合

的元素。這是個很好的運算性質,因為你不會算著算著突然發現不知道答案是

什 麼鬼東西,而且算出的答案還可以接combo,繼續跟集合的其他元素做運算)


當人類意識到乘這件事時,就是算數上一大跳躍性的進 步,而整數對乘法依然有封閉

性(感動)。但有乘法運算,就總有一天會有人發現可以倒著算---乘法反運算(除法)

這時出 現了兩個很大的問題 1除以0 和 1除以2    ~青筋~

1除以0 這件事數學家怎麼想都覺得毛毛的不對勁,突然想起一句明言「不要問,很恐怖」

「什麼你還要問…好啦好啦,我定義這件事無意義啦! 什麼你不服!!」

這時就要數學家就會大聲的說「I am the law... 」



  1除以2 就是把一分成兩份取其中一份的意思,整數中沒有一個數有這種概念那就再

次定義出一種新的數---有理數,也就是可以寫成某那個整數比的 數。

      哇哈哈!這下加減乘除都沒有問題啦!而且因為有理數有稠密性(任兩個有理數之

間一定存在某個有理數), 所以會很自然的認為數線已經被補完了。也就是說任何數都可

以用某兩整數的比來表示,顯然我們的畢哥就是這件事的信徒之一。


      但是畢哥的弟子吸仆死很不給面子地用幾何的方法證明根號2不是有理數…

得罪了畢哥還想跑,仆街吧!結果吸仆死就仆街而死了。


      在大學的數學系,有一門很重的主修叫高等微積分(高等到完全看不出來

跟微積分有任何關系)的前三分之一本就在講數線的最終補完 計畫---(完備性公設)


    這時就不得不提江湖人稱數學之王(ㄅㄚ  ㄉㄢˋ),搞死人不償命的高斯…

        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~的弟子

也就是德國數學家理察戴德金(有沒有講德語的數學都很好的八卦) 搞出了一個定義實數

(有理數和無理數)的方法。

================以下為火星文==看不懂請服用翻譯蒟 蒻===========================

假設給定某種方法,把所有的有理數分為兩個集合,A和B,A中的每一個元素都 小於B中的

每一個元素,任何一種分類方法稱為有理數的一個分割。

對於任一分割,必有3種可能,其中有且只有1種成立:

  1. A有一個最大元素a,B沒有最小元素。例如A是所有≦1的有理數,B是所有>1的有理數

  2. B有一個最小元素b,A沒有最大元素。例如A是所有<1的有理數,B是所有≧1的有理數

  3. A沒有最大元素,B也沒有最小元素,例如A是所有負的有理數,零和平方小於2的正

    有理數,B是所有平方大於2的正有理數。顯然A和B的並集是所有的有理數,因為平

    方等於2的數不是有理數。

注 意:A有最大元素a,且B有最小元素b是不可能的,因為這樣就有一個有理數(a+b)/2

不存在於A和B兩個集合中,與A和B的聯集是所 有的有理數矛盾


第3種情況,戴德金稱這個分割為定義了一個無理數,或者簡單的說這個分割是一個無理

數。前面2種 情況中,分割是有理數。

這樣,所有可能的分割構成了數軸上的每一個點,既有有理數,又有無理數,統稱實數。

========================== 翻譯蒟蒻(嚼~嚼~嚼)==================================

一刀砍在數線上,這時以被砍到的那個倒霉 鬼k為分類標的,把所有有理數分成兩類

一類是≦k的有理數,一類是>k的有理數,如果k是有理數的話那一定就在這兩類的某

一 類中。但如果發現k不在這兩類中的任一類中…嘿嘿嘿,那就恭喜你啦,發現內鬼了

快叫他出來面對啦…你就可以用他的血在他的頭上寫個慘字… 呃~不對~是寫無理數

============================你得到他了 嗎======================================

(當你在讀高微時就會發現,它其實就是在用極限的概 念,和分析的語言(δ和ε---就是

火星文啦!)將有理數拓展成實數)


至於虛數和複數嘛!其實只是為了運算上的 方便而搞出來的,說實在的有學過複變的

就會發現複數其實很好用,某個數學之神(經病)曾講過,一個真理通往另一個真理的

捷 徑是複變。在實數坐標中一些很複雜的圖形可以透一個isomophism(1-to-1 &

onto加上保持運算性質不變的函 數)轉換到複數平面上變成很簡單有規則的圖形

解決後,再把答案用反函數送回原來的實坐標系中,就是真正問題的答案了。


    提到複變就要提到高級天龍人科科科西,科西當時完全不吃微積分那套,基本上

他體現了數學家的龜毛,因為當時的微積分的解釋很怪。舉 個例:dx --> 0-

當時的講法是

1. dx<0,

2. dx無限靠近0但不是0,

3. 而且沒有任何數比dx還靠近0,也就是說不存在dx和0之間的數。

仔細想一想這其實是一件很怪的事,因為1和3明顯的有矛盾

  當時還被人戲稱dx是一個幽靈數。

後來科西堅持那套用 δ 和 ε 寫的火星文來描述微積分的概念,才解決了這件怪事。


========================== 回到原po的問題====================================


    我覺得把數學分為中國的數學和西方的數學比較不好

應該要分為"希臘"文明所發展出來的數學和"非希臘"文明所發展出來的數學

這 兩者之間的最大差別是希臘文明中有哲學,這也是希臘文明最大的特點

可能有人會說,_____也有哲學啊!(請自行代入喜愛的文明)

但 我覺得____文明並沒有像希臘那樣所謂的哲學,最多只能說有某種思想體系。




    哲學這兩個中文字,是日本人從中國古書中找到的覺得這兩個字看起好像很威

就私自地把它對應到英文philosophy這個字,之後近代中 國人再口嫌體正直地採用

萬惡小日本的翻譯。



    所以中國古書中的哲學,和現代哲學所指涉的意義是不一樣的。

希臘哲學指的是愛智慧,而它的發展靠得是一群古希臘宅男們閒閒沒事做整天胡

思 亂想,提出一堆看似與現實生活沒關係而且莫名奇妙(對很多人而言)的問題。

之後再把他們對於這些問題的想法,盡量用"內在無矛盾"的方式 論述出來,

最後再彼此辯論(吵架?),進而建構出一堆XX論的東西。



    而內在無矛盾就是希臘哲學與其他文明思想體系(尤其是中國)的最大不同處。

因為在內在無矛盾的最高指導原則下(不然會被對方辯友用歸謬法 的方式戰爆),

才有可能把思想系統化和理論化。




    為了要"內在無矛盾"所以古希臘阿宅們漸漸發現邏輯好像很重要,當然定義也

很重要,因為阿宅們常發現彼此為了一個名詞戰了半天,結果發現 大家所指的東西

不一樣,根本就是雞同鴨講,白白浪費了一堆口水。


      每個學問都有關注的事物,數學所關注的就是"數與形"。數字和形狀跟自然與我們

的生活息息相關,所以當然也是這群愛胡思亂想的阿宅的重要 辯題(吵架主題)

所以希臘數學的發展自然也有建立內在無矛盾系統的特性。


      這時不得不提一本劃時代的著作"幾何原本"。這本書為什麼重要呢?因為歐幾里德

將他當時所搜集到的幾何性質公理化。公理化其實就是"突然 終止"的論證法,也就是不能

再往前問為什麼,公理集就是一切的初始。(還有另外兩種論證法,一種是大家耳熟能詳

的循環論 證,還有一種就是無限退後:例如佛教的因果論就是無限退後)


      希臘文明的數學發展在中世紀的時候停了下來,但內在無矛盾的論述精神並沒有

消失,只是阿宅們信了上帝,將這種研究方法用在發展神學上,而 公理集是從兩約聖經

中整理出來,簡單來說就是方法一樣但關注的東西從數與形變成上帝和聖經。

                (曾看過一些神學論文,看起來真的很數學)


後來文藝復興後大家才又把關心的對象,從上帝、天堂和聖經(神本)轉向成人、世 界和

物質(人本),將原本的那種研究精神與方式拿來研究世界上各種東西(這時很多領域開

始從哲學分化出來了)。


    德國的數學家康托爾創立了現代集合論(其中的可數集和不可數集是個有趣的東西)

。這也是劃時代的創見,因為從此數學就開始利用集 合論真正的抽象化了。(抽象就是

抽掉一切的表象,留下最本質的結構。這樣更加大數學可以應用的範圍,使數學成為更

有力的 工具)


      近代的數學就是靠公理化提供發展的基石,用集合將概念抽象化地定義下來

一次性地研究清楚同類 型的所有問題,以便拓廣拓深數學所能適用的範圍。


      還有很多人會覺得數學家常常想證明一些看似毫無用處or顯而易見的命題,

像:1+1=2、算數基本定理、微積分基本定理,龐加萊猜想還有 數論中一堆XXX猜想

其實重點不是在證明這些命題是不是對的,而是在證明的過程中會可能會發現一些

更本質的現象,或者當 用現有的數學工具證明不出來時,攪盡腦汁地發展出更好更

強而有力的數學工具或技巧去證明。


我想在中國文明文化中 無法自行的發展出像傳承自希臘文明的現代數學,最主要有

幾個點:第一,不力求系統的內在無矛盾化(一切自己說不清的就,道可道非常道,反 正

              就是玄之又玄,搞不好自己也不懂只好唬爛別人說「不要問,很恐怖」)


        第二,對於顯而易見的問題不去追根究底,想說「阿不就是這樣嗎?有什麼

              好問為什麼的」(現在很多人也是這樣)


        第三,過度的訴諸於權威,權威不容挑戰和懷疑,不然就是大逆不道



啊! 打了這麼多,也許會有很多謬誤,請大家多多指正包涵…謝謝


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