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作者: testishard (Testishard) 看板: gallantry
標題: Re: [問題] 問什麼東方的數學...這麼爛
時 間: Tue Jan 12 23:38:43 2010

    身為一個數學系的學生，看到這個討論串忍不住手癢上發表我的看法

讀 了數學系後，才發現我是如此的虛弱所以以下言論有可能會有錯誤的地方

請各位版友多多包函。
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(數 的演變)

數學主要研究的主題是"數和形"(數字和形狀)

發展到近代主要會用兩種方式來研究數字和形狀，一種是分析，一種 是代數

在"數字"的方面關注的有兩點，一個是數系，一個是運算

而數系一直為了運算的需求而拓展，可以視為把數線填滿的過 程…

從一開始的自然數(1 2 3 4 …)和加法的概念  這兩個東西應該是人類本能就會意

識到的。

自 然數在做加法運算是有封閉性，所以在做加法時，自然數不會出啥問題

但當人類意識到扣掉(減的概念也就是加法的反運算)時，就發現  幹糟了…

1-1是什麼鬼東東？

所以為了滿足運算上的需要，進而有了0的概念，使 1-1=0 2-2=0 …

那 1-2又是什麼洨？  1-2 = 1-1-1 = 0-1？？？  ~崩潰~

為了解決這個問題只好再次發揮數學家最強的嘴炮---我定 義

把比零少一定為負一，然後負一長這樣-1(這是為了方便起見)，之後就依此類推

這樣就定出了負整數。

自 然數、零和負整數的合體就是整數了。人類發現整數對加減法有封閉性，不會

出現什麼不可思議的事

(某個集合對某個運算有封 閉性就是集合中的任兩個元素做此運算的結果還是此集合

的元素。這是個很好的運算性質，因為你不會算著算著突然發現不知道答案是

什 麼鬼東西，而且算出的答案還可以接combo，繼續跟集合的其他元素做運算)


當人類意識到乘這件事時，就是算數上一大跳躍性的進 步，而整數對乘法依然有封閉

性(感動)。但有乘法運算，就總有一天會有人發現可以倒著算---乘法反運算(除法)

這時出 現了兩個很大的問題 1除以0 和 1除以2    ~青筋~

1除以0 這件事數學家怎麼想都覺得毛毛的不對勁，突然想起一句明言「不要問，很恐怖」

「什麼你還要問…好啦好啦，我定義這件事無意義啦！ 什麼你不服！！」

這時就要數學家就會大聲的說「I am the law... 」



  1除以2 就是把一分成兩份取其中一份的意思，整數中沒有一個數有這種概念那就再

次定義出一種新的數---有理數，也就是可以寫成某那個整數比的 數。

      哇哈哈！這下加減乘除都沒有問題啦！而且因為有理數有稠密性(任兩個有理數之

間一定存在某個有理數)， 所以會很自然的認為數線已經被補完了。也就是說任何數都可

以用某兩整數的比來表示，顯然我們的畢哥就是這件事的信徒之一。


      但是畢哥的弟子吸仆死很不給面子地用幾何的方法證明根號2不是有理數…

得罪了畢哥還想跑，仆街吧！結果吸仆死就仆街而死了。


      在大學的數學系，有一門很重的主修叫高等微積分(高等到完全看不出來

跟微積分有任何關系)的前三分之一本就在講數線的最終補完 計畫---(完備性公設)


    這時就不得不提江湖人稱數學之王(ㄅㄚ  ㄉㄢˋ)，搞死人不償命的高斯…

        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~的弟子

也就是德國數學家理察戴德金(有沒有講德語的數學都很好的八卦) 搞出了一個定義實數

(有理數和無理數)的方法。

================以下為火星文==看不懂請服用翻譯蒟 蒻===========================

假設給定某種方法，把所有的有理數分為兩個集合，A和B，A中的每一個元素都 小於B中的

每一個元素，任何一種分類方法稱為有理數的一個分割。

對於任一分割，必有3種可能，其中有且只有1種成立：

  1. A有一個最大元素a，B沒有最小元素。例如A是所有≦1的有理數，B是所有>1的有理數

  2. B有一個最小元素b，A沒有最大元素。例如A是所有<1的有理數，B是所有≧1的有理數

  3. A沒有最大元素，B也沒有最小元素，例如A是所有負的有理數，零和平方小於2的正

    有理數，B是所有平方大於2的正有理數。顯然A和B的並集是所有的有理數，因為平

    方等於2的數不是有理數。

注 意：A有最大元素a，且B有最小元素b是不可能的，因為這樣就有一個有理數(a+b)/2

不存在於A和B兩個集合中，與A和B的聯集是所 有的有理數矛盾


第3種情況，戴德金稱這個分割為定義了一個無理數，或者簡單的說這個分割是一個無理

數。前面2種 情況中，分割是有理數。

這樣，所有可能的分割構成了數軸上的每一個點，既有有理數，又有無理數，統稱實數。

========================== 翻譯蒟蒻(嚼~嚼~嚼)==================================

一刀砍在數線上，這時以被砍到的那個倒霉 鬼k為分類標的，把所有有理數分成兩類

一類是≦k的有理數，一類是>k的有理數，如果k是有理數的話那一定就在這兩類的某

一 類中。但如果發現k不在這兩類中的任一類中…嘿嘿嘿，那就恭喜你啦，發現內鬼了

快叫他出來面對啦…你就可以用他的血在他的頭上寫個慘字… 呃~不對~是寫無理數

============================你得到他了 嗎======================================

(當你在讀高微時就會發現，它其實就是在用極限的概 念，和分析的語言(δ和ε---就是

火星文啦！)將有理數拓展成實數)


至於虛數和複數嘛！其實只是為了運算上的 方便而搞出來的，說實在的有學過複變的

就會發現複數其實很好用，某個數學之神(經病)曾講過，一個真理通往另一個真理的

捷 徑是複變。在實數坐標中一些很複雜的圖形可以透一個isomophism(1-to-1 &

onto加上保持運算性質不變的函 數)轉換到複數平面上變成很簡單有規則的圖形

解決後，再把答案用反函數送回原來的實坐標系中，就是真正問題的答案了。


    提到複變就要提到高級天龍人科科科西，科西當時完全不吃微積分那套，基本上

他體現了數學家的龜毛，因為當時的微積分的解釋很怪。舉 個例：dx --> 0-

當時的講法是

1. dx<0，

2. dx無限靠近0但不是0，

3. 而且沒有任何數比dx還靠近0，也就是說不存在dx和0之間的數。

仔細想一想這其實是一件很怪的事，因為1和3明顯的有矛盾

  當時還被人戲稱dx是一個幽靈數。

後來科西堅持那套用 δ 和 ε 寫的火星文來描述微積分的概念，才解決了這件怪事。


========================== 回到原po的問題====================================


    我覺得把數學分為中國的數學和西方的數學比較不好

應該要分為"希臘"文明所發展出來的數學和"非希臘"文明所發展出來的數學

這 兩者之間的最大差別是希臘文明中有哲學，這也是希臘文明最大的特點

可能有人會說，_____也有哲學啊！(請自行代入喜愛的文明)

但 我覺得____文明並沒有像希臘那樣所謂的哲學，最多只能說有某種思想體系。




    哲學這兩個中文字，是日本人從中國古書中找到的覺得這兩個字看起好像很威

就私自地把它對應到英文philosophy這個字，之後近代中 國人再口嫌體正直地採用

萬惡小日本的翻譯。



    所以中國古書中的哲學，和現代哲學所指涉的意義是不一樣的。

希臘哲學指的是愛智慧，而它的發展靠得是一群古希臘宅男們閒閒沒事做整天胡

思 亂想，提出一堆看似與現實生活沒關係而且莫名奇妙(對很多人而言)的問題。

之後再把他們對於這些問題的想法，盡量用"內在無矛盾"的方式 論述出來，

最後再彼此辯論(吵架？)，進而建構出一堆XX論的東西。



    而內在無矛盾就是希臘哲學與其他文明思想體系(尤其是中國)的最大不同處。

因為在內在無矛盾的最高指導原則下(不然會被對方辯友用歸謬法 的方式戰爆)，

才有可能把思想系統化和理論化。




    為了要"內在無矛盾"所以古希臘阿宅們漸漸發現邏輯好像很重要，當然定義也

很重要，因為阿宅們常發現彼此為了一個名詞戰了半天，結果發現 大家所指的東西

不一樣，根本就是雞同鴨講，白白浪費了一堆口水。


      每個學問都有關注的事物，數學所關注的就是"數與形"。數字和形狀跟自然與我們

的生活息息相關，所以當然也是這群愛胡思亂想的阿宅的重要 辯題(吵架主題)

所以希臘數學的發展自然也有建立內在無矛盾系統的特性。


      這時不得不提一本劃時代的著作"幾何原本"。這本書為什麼重要呢？因為歐幾里德

將他當時所搜集到的幾何性質公理化。公理化其實就是"突然 終止"的論證法，也就是不能

再往前問為什麼，公理集就是一切的初始。(還有另外兩種論證法，一種是大家耳熟能詳

的循環論 證，還有一種就是無限退後：例如佛教的因果論就是無限退後)


      希臘文明的數學發展在中世紀的時候停了下來，但內在無矛盾的論述精神並沒有

消失，只是阿宅們信了上帝，將這種研究方法用在發展神學上，而 公理集是從兩約聖經

中整理出來，簡單來說就是方法一樣但關注的東西從數與形變成上帝和聖經。

                (曾看過一些神學論文，看起來真的很數學)


後來文藝復興後大家才又把關心的對象，從上帝、天堂和聖經(神本)轉向成人、世 界和

物質(人本)，將原本的那種研究精神與方式拿來研究世界上各種東西(這時很多領域開

始從哲學分化出來了)。


    德國的數學家康托爾創立了現代集合論(其中的可數集和不可數集是個有趣的東西)

。這也是劃時代的創見，因為從此數學就開始利用集 合論真正的抽象化了。(抽象就是

抽掉一切的表象，留下最本質的結構。這樣更加大數學可以應用的範圍，使數學成為更

有力的 工具)


      近代的數學就是靠公理化提供發展的基石，用集合將概念抽象化地定義下來

一次性地研究清楚同類 型的所有問題，以便拓廣拓深數學所能適用的範圍。


      還有很多人會覺得數學家常常想證明一些看似毫無用處or顯而易見的命題，

像：1+1=2、算數基本定理、微積分基本定理，龐加萊猜想還有 數論中一堆XXX猜想

其實重點不是在證明這些命題是不是對的，而是在證明的過程中會可能會發現一些

更本質的現象，或者當 用現有的數學工具證明不出來時，攪盡腦汁地發展出更好更

強而有力的數學工具或技巧去證明。


我想在中國文明文化中 無法自行的發展出像傳承自希臘文明的現代數學，最主要有

幾個點：第一，不力求系統的內在無矛盾化(一切自己說不清的就，道可道非常道，反 正

              就是玄之又玄，搞不好自己也不懂只好唬爛別人說「不要問，很恐怖」)


        第二，對於顯而易見的問題不去追根究底，想說「阿不就是這樣嗎？有什麼

              好問為什麼的」(現在很多人也是這樣)


        第三，過度的訴諸於權威，權威不容挑戰和懷疑，不然就是大逆不道



啊！ 打了這麼多，也許會有很多謬誤，請大家多多指正包涵…謝謝